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篮球彩票网站大全,2019年全国I卷理科数学高考真题_高考_高中教育_教育专区

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2019 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。篮球彩票网站大全在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 1.已知集合 M ? {x ?4 ? x ? 2},N ? {x x2 ? x ? 6 ? 0?,则 M N = A.{x ?4 ? x ?3? B.{x ?4 ? x ??2? C.{x ?2 ? x ? 2? D.{x 2 ? x ?3? 2.设复数 z 满足 z ? i =1,z 在复平面内对应的点为(x,y),则 A. (x+1)2 ? y2 ? 1 B. (x ?1)2 ? y2 ? 1 C. x2 ? ( y ?1)2 ? 1 D. x2 ? ( y+1)2 ? 1 3.已知 a ? log20.2,b ? 20.2,c ? 0.20.3 ,则 A. a ? b ? c B. a ? c ? b C. c ? a ? b D. b ? c ? a 4.古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 5 ?1( 5 ?1 ≈0.618, 2 2 称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚 脐的长度之比也是 5 ?1 .若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为 105 cm,头顶至脖子下端的长 2 度为 26 cm,则其身高可能是 A.165 cm B.175 cm C.185 cm D.190 cm 5.函数 f(x)= sinx ? x cosx ? x2 在[??, ?] 的图像大致为 A. B. C. D. 6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻组成,爻分为 阳爻“——”和阴爻“— —”,如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有 3 个阳爻 的概率是 A. 5 16 B. 11 32 C. 21 32 D. 11 16 7.已知非零向量 a,b 满足| a |? 2 | b | ,且 (a ? b) ? b,则 a 与 b 的夹角为 A. π 6 B. π 3 C. 2π 3 8.如图是求 2 ? 1 2 1 ? 1 的程序框图,图中空白框中应填入 2 D. 5π 6 A.A= 1 2? A B.A= 2 ? 1 A C.A= 1 1? 2A D.A=1? 1 2A 9.记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和.已知 S4 ? 0,a5 ? 5 ,则 A. an ? 2n ? 5 B. an ? 3n ?10 C. Sn ? 2n2 ? 8n D. Sn ? 1 2 n2 ? 2n 10.已知椭圆 C 的焦点为 F1( ?1, 0),F2(1, 0),过 F2 的直线与 C 交于 A,B 两点.若| AF2 |? 2 | F2B | , | AB |?| BF1 | ,则 C 的方程为 A. x2 ? y2 ? 1 2 B. x2 ? y2 ? 1 32 C. x2 ? y2 ? 1 43 D. x2 ? y2 ? 1 54 11.关于函数 f (x) ? sin | x | ? | sin x |有下述四个结论: ①f(x)是偶函数 ③f(x)在[??, ?] 有 4 个零点 ②f(x)在区间( ? , ? )单调递增 2 ④f(x)的最大值为 2 其中所有正确结论的编号是 A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③ 12.已知三棱锥 P?ABC 的四个顶点在球 O 的球面上,PA=PB=PC,△ABC 是边长为 2 的正三角形,E,F 分别是 PA,AB 的中点,∠CEF=90°,则球 O 的体积为 A. 8 6? B. 4 6? C. 2 6? D. 6? 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.曲线 y ? 3(x2 ? x)e x 在点 (0,0) 处的切线方程为____________. 14.记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和.若 a1 ? 1 3 ,a42 ? a6 ,则 S5=____________. 15.甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前 期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为 0.6,客场取胜的 概率为 0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以 4∶1 获胜的概率是____________. 16.已知双曲线 C: x a 2 2 ? y2 b2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F1 的直线与 C 的两条渐近线 分别交于 A,B 两点.若 F1A ? AB , F1B ? F2B ? 0 ,则 C 的离心率为____________. 三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。篮球彩票网站大全第 17~21 题为必考题,每个试题考生 都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共 60 分。 17.(12 分) △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,设 (sin B ? sin C)2 ? sin2 A ? sin B sin C . (1)求 A; (2)若 2a ? b ? 2c ,求 sinC. 18.(12 分) 如图,直四棱柱 ABCD–A1B1C1D1 的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N 分别是 BC, BB1,A1D 的中点. (1)证明:MN∥平面 C1DE; (2)求二面角 A?MA1?N 的正弦值. 19.(12 分) 已知抛物线 C:y2=3x 的焦点为 F,斜率为 3 的直线 l 与 C 的交点为 A,B,与 x 轴的交点为 P. 2 (1)若|AF|+|BF|=4,求 l 的方程; (2)若 AP ? 3PB ,求|AB|. 20.(12 分) 已知函数 f (x) ? sin x ? ln(1? x) , f ?(x) 为 f (x) 的导数.证明: (1) f ?(x) 在区间 (?1, ?) 存在唯一极大值点; 2 (2) f (x) 有且仅有 2 个零点. 21.(12 分) 为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案 如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以 乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠 多 4 只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验, 若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分,乙药得 ?1分;若施以乙药的白鼠治愈 且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分,甲药得 ?1分;若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分.甲、 乙两种药的治愈率分别记为 α 和 β,一轮试验中甲药的得分记为 X. (1)求 X 的分布列; (2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分, pi (i ? 0,1, ,8) 表示“甲药的累计得分为 i 时,最终认 为 甲 药 比乙 药 更有 效 ” 的概 率 , 则 p0 ? 0 , p8 ? 1 , pi ? api?1 ? bpi ? cpi?1 (i ? 1, 2, , 7) , 其 中 a ? P( X ? ?1), b ? P(X ? 0) , c ? P(X ? 1) .假设? ? 0.5, ? ? 0.8 . (i)证明:{ pi?1 ? pi} (i ? 0,1, 2, , 7) 为等比数列; (ii)求 p4 ,并根据 p4 的值解释这种试验方案的合理性. (二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。篮球彩票网站大全如果多做,则按所做的第一题计分。 22.[选修 4—4:坐标系与参数方程](10 分) 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ? ?? ? x ? 1 1 ? ? t2 t2 , (t 为参数).以坐标原点 O 为极点,x 轴的 ? ?? y ? 1 4t ?t 2 正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 2? cos? ? 3? sin? ?11 ? 0 . (1)求 C 和 l 的直角坐标方程; (2)求 C 上的点到 l 距离的最小值. 23.[选修 4—5:不等式选讲](10 分) 已知 a,b,c 为正数,且满足 abc=1.证明: (1) 1 ? 1 ? 1 ? a2 ? b2 ? c2 ; abc (2) (a ? b)3 ? (b ? c)3 ? (c ? a)3 ? 24 . 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学?参考答案 一、选择题 1.C 2.C 3.B 4.B 5.D 6.A 7.B 8.A 9.A 10.B 11.C 12.D 二、填空题 13.y=3x 三、解答题 14. 121 3 15.0.18 16.2 17.解:(1)由已知得 sin2 B ? sin2 C ? sin2 A ? sin Bsin C ,故由正弦定理得 b2 ? c2 ? a2 ? bc . 由余弦定理得 cos A ? b2 ? c2 ? a2 ? 1 . 2bc 2 因为 0? ? A ? 180? ,所以 A ? 60? . ? ? (2)由(1)知 B ? 120? ? C ,由题设及正弦定理得 2 sin A ? sin 120? ? C ? 2sin C , ? ? 即 6 ? 3 cos C ? 1 sin C ? 2sin C ,可得 cos C ? 60? ? ? 2 . 22 2 2 ? ? 由于 0? ? C ?120? ,所以 sin C ? 60? ? 2 ,故 2 ? ? sin C ? sin C ? 60? ? 60? ? ? ? ? ? sin C ? 60? cos 60? ? cos C ? 60? sin 60? ? 6? 2 . 4 18.解:(1)连结B1C,ME. 因为M,E分别为BB1,BC的中点, 所以ME∥B1C,且ME= 1 B1C. 2 又因为N为A1D的中点,所以ND= 1 2 A1D. 由题设知A1B1 ? DC,可得B1C ? A1D,故ME ? ND, 因此四边形MNDE为平行四边形,MN∥ED. 又MN ? 平面EDC1,所以MN∥平面C1DE. (2)由已知可得DE⊥DA. 以D为坐标原点, DA 的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D?xyz,则 A(2, 0, 0) , A1(2 , 0 , 4) , M (1, 3, 2) , N (1, 0, 2) , A1A ? (0,0, ?4) , A1M ? (?1, 3, ?2) , A1N ? (?1,0, ?2) , MN ? (0, ? 3, 0) . 设m ? (x, y, z ) 为平面A1MA的法向量,则 ??m ? ? A1M ? 0 , ??m ? A1A ? 0 所以 ???x ? ? ???4z ? 3y ? 0. 2z ? 0,可取 m ? ( 3,1, 0) . 设 n ? ( p, q, r) 为平面A1MN的法向量,则 ??n ? ??n ? ? MN A1N ? ? 0, 0. 所以 ??? ? ??? 3q ? p ? 2r 0, 可取 ? 0. n ? (2, 0, ?1) . 于是 cos?m, n? ? m?n | m‖n | ? 2 2? 3 5 ? 15 , 5 所以二面角 A ? MA1 ? N 的正弦值为 10 . 5 19.解:设直线 l : y ? 3 2 x ? t, A? x1, y1 ?, B ? x2 , y2 ? . (1)由题设得 F ? ?? 3 4 , 0 ? ?? ,故 | AF | ? | BF |? x1 ? x2 ? 3 2 ,由题设可得 x1 ? x2 ? 5 2 . 由 ?? ? ?? y? 3x? 2 y2 ? 3x t ,可得 9x2 ?12(t ? 1) x ? 4t 2 ? 0 ,则 x1 ? x2 ? ?12(t ?1) 9 . 从而 ?12(t ?1) ? 5 ,得 t ? ? 7 . 92 8 所以 l 的方程为 y ? 3 x ? 7 . 28 (2)由 AP ? 3PB 可得 y1 ? ?3y2 . 由 ?? ? y ? 3 2 x ? t ,可得 y2 ? 2y ? 2t ? 0 . ?? y2 ? 3x 所以 y1 ? y2 ? 2 .从而 ?3y2 ? y2 ? 2 ,故 y2 ? ?1, y1 ? 3 . 代入 C 的方程得 x1 ? 3, x2 ? 1 3 . 故| AB |? 4 13 . 3 20.解:(1)设 g(x) ? f '(x) ,则 g(x) ? cos x ? 1 1? x , g'(x) ? ? sin x? 1 (1? x)2 . 当 x ? ? ?? ?1, ? 2 ? ?? 时, g' ( x) 单调递减,而 g' (0) ? 0, g' ( ?) 2 ? 0 ,可得 g' ( x) 在 ? ?? ?1, ? 2 ? ?? 有唯一零点, 设为? . 则当 x ? (?1,? ) 时, g' ( x) ? 0 ;当 x ? ? ?? ? , ? 2 ? ?? 时, g' (x) ? 0 . 所以 g(x) 在 (?1,? ) 单调递增,在 ??? ? , ? 2 ? ?? 单调递减,故 g( x) 在 ? ?? ?1, ? 2 ? ?? 存在唯一极大值点, 即 f '(x) 在 ? ?? ?1, ? 2 ? ?? 存在唯一极大值点. (2) f (x) 的定义域为 (?1, ??) . (i)当 x ? (?1,0] 时,由(1)知, f '(x) 在 ( ?1,0) 单调递增,而 f '(0) ? 0 ,所以当 x ? (?1, 0) 时, f '(x) ? 0 ,故 f (x) 在 ( ?1,0) 单调递减,又 f (0)=0 ,从而 x ? 0 是 f (x) 在 (?1, 0] 的唯一 零点. (ii)当 x ? ? ?? 0, ?? 2 ?? 时,由(1)知,f '(x) 在 (0,? ) 单调递增,在 ? ?? ? , ? 2 ? ?? 单调递减,而 f '(0)=0 , f ' ? ?? ? 2 ? ?? ? 0 ,所以存在 ? ? ???? , ? 2 ? ?? ,使得 f '(? ) ? 0 ,且当 x ?(0, ?) 时,f '(x) ? 0 ;当 x ? ? ?? ?, ? 2 ? ?? 时, f '(x) ? 0 .故 f (x) 在 (0, ? ) 单调递增,在 ? ?? ? , ? 2 ? ?? 单调递减. 又 f (0)=0 , f ? ?? ? 2 ? ?? ?1? ln ???1 ? ? 2 ? ?? ? 0 ,所以当 x ? ? ?? 0, ?? 2 ?? 时, f (x) ? 0 .从而, f (x) 在 ? ?? 0, ? 2 ? ?? 没有零点. (iii)当 x ? ? ?? ? 2 , ???? 时, f '(x) ? 0 ,所以 f (x) 在 ? ?? ? 2 , ? ? ?? 单调递减.而 f ? ?? ? 2 ? ?? ? 0 , f (?) ? 0 , 所以 f ( x) 在 ? ?? ? 2 , ???? 有唯一零点. (iv)当 x ?(?, ??) 时, ln(x ?1) ?1 ,所以 f (x) <0,从而 f (x) 在 (?, ??) 没有零点. 综上, f (x) 有且仅有2个零点. 21.解:X 的所有可能取值为 ?1,0,1. P(X ? ?1) ? (1?? )?, P(X ? 0) ? ?? ? (1?? )(1? ? ), P(X ? 1) ? ? (1? ? ), 所以 X 的分布列为 (2)(i)由(1)得 a ? 0.4, b ? 0.5, c ? 0.1 . ? ? ? ? 因此 pi =0.4pi?1+0.5 pi +0.1pi?1,故 0.1 pi?1 ? pi ? 0.4 pi ? pi?1 ,即 ? ? pi?1 ? pi ? 4 pi ? pi?1 . 又因为 p1 ? p0 ? p1 ? ? 0 ,所以 pi?1 ? pi?(i ? 0,1, 2, ,7) 为公比为 4,首项为 p1 的等比数列. (ii)由(i)可得 p8 ? p8 ? p7 ? p7 ? p6 ? ? p1 ? p0 ? p0 ? ? p8 ? p7 ? ? ? p7 ? p6 ? ? ? ? p1 ? p0 ? ? 48 ?1 3 p1 . 由于 p8 =1 ,故 p1 ? 3 48 ?1 ,所以 p4 ? ? p4 ? p3 ? ? ? p3 ? p2 ? ? ? p2 ? p1 ? ? ? p1 ? p0 ? ? 44 ?1 3 p1 ? 1. 25 7 p4 表示最终认为甲药更有效的概率,由计算结果可以看出,在甲药治愈率为 0.5,乙药治 愈率为 0.8 时,认为甲药更有效的概率为 p4 ? 1 257 ? 0.0039 ,此时得出错误结论的概率非 常小,说明这种试验方案合理. ? ? 22 . 解 :( 1 ) 因 为 ?1 ? 1 1 ? ? t t 2 2 ? 1 ,且 x2 ? ? ?? y 2 2 ? ? ? ? ?1?t2 ? ? 1 ? t 2 ?2 ? ? ? 4t 2 1? t2 2 ? 1 ,所以C的直角坐标方程为 x2 ? y2 ? 1(x ? ?1) . 4 l 的直角坐标方程为 2x ? 3y ?11 ? 0 . (2)由(1)可设C的参数方程为 ?x ? ? y ? cos?, ? 2sin? (? 为参数, ?π ? ? ? π ). C上的点到 l 的距离为 | 2 cos? ? 2 3 sin ? ? 11 | ? 4 cos ???? ? π 3 ? ?? ?11 . 7 7 当? ? ? 2π 3 时, 4 cos ? ?? ? ? π 3 ? ?? ?11 取得最小值7,故C上的点到 l 距离的最小值为 7. 23.解:(1)因为 a2 ? b2 ? 2ab,b2 ? c2 ? 2bc, c2 ? a2 ? 2ac ,又 abc ? 1,故有 a2 ? b2 ? c2 ? ab ? bc ? ca ? ab ? bc ? ca ? 1 ? 1 ? 1 . abc abc 所以 1 ? 1 ? 1 ? a2 ? b2 ? c2 . abc (2)因为 a, b, c 为正数且 abc ? 1,故有 (a ? b)3 ? (b ? c)3 ? (c ? a)3 ? 33 (a ? b)3(b ? c)3(a ? c)3 =3(a+b)(b+c)(a+c) ? 3? (2 ab) ? (2 bc ) ? (2 ac ) =24. 所以 (a ? b)3 ? (b ? c)3 ? (c ? a)3 ? 24 .
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